在 3D 游戏开发和角色动画中，如何让一个物体、摄像机，或者角色的肢体摆脱生硬的直线运动，划出一条丝滑、自然的弧线？

答案就是：样条曲线，Spline。

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什么是样条曲线？

简单来说，样条曲线（Spline）是由多项式分段定义出来的曲线。

所谓多项式，形式上并不神秘：就是一个变量使用不同的指数进行计算，然后把结果加总。比如一个典型的三次多项式：

h_{00}(t) = 2t^3 - 3t^2 + 1

这里的 t 是一个插值参数。为了方便动画系统处理，我们经常把它归一化到：

t \in [0, 1]

当 t=0 时表示曲线的起点，当 t=1 时表示曲线的终点，中间的值表示“走到这段曲线的百分之多少”。

在图形学中，最常登场的样条曲线大致有三类：

• B-样条（B-splines）
• 贝塞尔曲线（Bezier）
• 埃尔米特样条（Hermite splines）

它们的底层都是多项式，只是控制方式不同。

贝塞尔曲线很适合做美术编辑和路径设计，因为它的控制点非常直观，也可以用 De Casteljau 算法通过几何方式构造。B-样条适合做更平滑、更稳定的多段曲线。本文的主角是工业动画系统里非常常见的立方埃尔米特样条（Cubic Hermite Spline）。

为什么叫 Cubic？因为曲线公式里 t 的最高次数是 3，也就是 t^3。这个三次项给曲线提供了足够的弯曲自由度：它既能控制位置，又能控制端点处的速度方向。

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埃尔米特样条

一段立方埃尔米特样条由 4 个参数决定：

• 起点 v_0
• 终点 v_1
• 起点切线 m_0
• 终点切线 m_1

可以把它想象成这样：

• v_0 和 v_1 决定曲线从哪里来、到哪里去。
• m_0 决定曲线离开起点时的方向和速度。
• m_1 决定曲线到达终点时的方向和速度。

立方埃尔米特样条的公式是：

p(t) = (2t^3 - 3t^2 + 1)v_0 + (t^3 - 2t^2 + t)m_0 + (-2t^3 + 3t^2)v_1 + (t^3 - t^2)m_1

为了看得更清楚，我们把四个多项式单独命名：

h_{00}(t) = 2t^3 - 3t^2 + 1

h_{10}(t) = t^3 - 2t^2 + t

h_{01}(t) = -2t^3 + 3t^2

h_{11}(t) = t^3 - t^2

于是公式可以写成：

p(t) = h_{00}(t)v_0 + h_{10}(t)m_0 + h_{01}(t)v_1 + h_{11}(t)m_1

这四个函数就叫 Hermite 基函数。

这些基函数到底在干什么？它们不是随便凑出来的，而是为了同时满足 4 个约束：

p(0) = v_0

p(1) = v_1

p'(0) = m_0

p'(1) = m_1

也就是说：

• 曲线必须经过起点。
• 曲线必须经过终点。
• 曲线在起点的导数必须等于起点切线。
• 曲线在终点的导数必须等于终点切线。

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C1 连续

立方埃尔米特样条很容易做到 C1 连续。

设第一段 Hermite 曲线为：

p_A(t)=Hermite(v_0, m_0, v_1, m_s, t)

第二段 Hermite 曲线为：

p_B(t)=Hermite(v_1, m_s, v_2, m_2, t)

两段曲线共享：连接点 v_1 和连接处切线 m_s。即连接点位置和导数一样，就自然是 C1 连续。

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可视化

为了更方便观察，我们用 Python 实现同样的逻辑，并使用 Matplotlib 画 3D 曲线。

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