在上一篇文章中，我们完成了颜色贡献权重 \alpha 的计算。在这篇文章中，我们继续完成对最终高斯点不透明度的梯度计算。
一个高斯点对某个像素颜色的最终贡献权重（\alpha_n）由两部分相乘得到：
\alpha_n = o_n \cdot \exp(-\sigma_n)
这里 o_n 是高斯的基础不透明度（Opacity），\exp(-\sigma_n) 是高斯函数在二维空间上的衰减系数 。
在反向传播（Backward Pass）中，我们需要计算损失函数 \mathcal{L} 对不透明度 o_n 的梯度 \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial o_n}。
\alpha_n 对 o_n 的偏导数为：
\frac{\partial \alpha_n}{\partial o_n} = \exp(-\sigma_n)
根据链式法则，损失 \mathcal{L} 经过 \alpha_n 传递给 o_n 的梯度就是：
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial o_n} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \alpha_n} \cdot \frac{\partial \alpha_n}{\partial o_n} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \alpha_n} \cdot \exp(-\sigma_n)
但我们此处，为了防止不透明度在梯度下降时越界（比如变成负数或大于 1），代码对“原始不透明度” o_{\text{raw}} 施加了一个 Sigmoid 激活函数，将其映射到 [0, 1] 的物理有效区间：
o_n = \text{Sigmoid}(o_{\text{raw}}) = \frac{1}{1 + \exp(-o_{\text{raw}})}
Sigmoid 函数有一个非常优美的导数性质：
\frac{\partial o_n}{\partial o_{\text{raw}}} = o_n \cdot (1 - o_n)
因此，完整的链式法则必须将这层激活函数的导数也乘上去：
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial o_{\text{raw}}} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial o_n} \cdot \frac{\partial o_n}{\partial o_{\text{raw}}} = \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \alpha_n} \cdot \exp(-\sigma_n) \right) \cdot o_n(1 - o_n)
代码实现和验证
对应的代码如下所示。其中的 G 对应 \exp(-\sigma_n)，这是空间高斯衰减项，我们先前已经实现过。
- tile_grad_opacity_raw = (tile_grad_alpha * G).sum(dim=1) * opacity_tile * (1.0 - opacity_tile) # (N_tile,)
-
- # 直接使用 scatter_add_ 将梯度累加回原始形状的不透明度梯度上
- orig_ids_tile = indices_onscreen[ids_tile]
- grad_opacity_raw.scatter_add_(0, orig_ids_tile, tile_grad_opacity_raw)
我们将不透明度参数加入优化。从可视化结果上看，相比于之前，背景上开始多了一些细节。
