在这篇文章中，我们计算 \alpha 的梯度。我们的目标是得到损失函数 L 对 \alpha_n 的偏导数：

\frac{\partial L}{\partial \alpha_n}

利用链式法则，我们先计算输出像素颜色对 \alpha_n 的偏导，再结合损失函数传回的梯度：

\frac{\partial L}{\partial \alpha_n} = \sum_{p \in \text{Pixels}} \frac{\partial L}{\partial C_p} \cdot \frac{\partial C_p}{\partial \alpha_n}

在 3DGS 的渲染管线中，单个像素 p 的颜色 C_p 渲染公式为：

C_p = \sum_{j=1}^{N} c_j \cdot \alpha_{j} \cdot T_{j}

其中，透射率 T_j 代表光线穿过前 j-1 个高斯后，还剩下多少比例能够到达当前高斯：

T_j = \prod_{m=1}^{j-1} (1 - \alpha_m)

我们对第 n 个高斯的 \alpha_n 求偏导。将总和拆分为三部分来看：

1. 排在 n 前面的高斯 (j < n)：它们的渲染不受 \alpha_n 的任何影响，偏导数为 0。

2. 第 n 个高斯自己 (j = n)：其项为 c_n \alpha_n T_n，对 \alpha_n 求导的结果为 c_n T_n。

3. 排在 n 后面的高斯 (j > n)：对于任意 j > n，其透射率 T_j 的连乘积中必然包含了 (1 - \alpha_n) 因子。我们可以写成：

T_j = (1 - \alpha_n) \cdot \prod_{m \neq n}^{j-1} (1 - \alpha_m)

因此，对 \alpha_n 求导得到：

\frac{\partial T_j}{\partial \alpha_n} = - \frac{T_j}{1 - \alpha_n}

将这一项代入后面的求和式中，即可提取出共同的系数 - \frac{1}{1 - \alpha_n}：

\sum_{j>n} c_j \alpha_j \frac{\partial T_j}{\partial \alpha_n} = - \frac{\sum_{j>n} c_j \alpha_j T_j}{1 - \alpha_n} = - \frac{S_n}{1 - \alpha_n}

其中我们定义 S_n = \sum_{j>n} c_j \alpha_j T_j，意为：排在第 n 个高斯之后的所有高斯对该像素渲染颜色的累积贡献和。

结合上述结果，我们得到了最终的公式：

\frac{\partial C_p}{\partial \alpha_n} = c_n T_n - \frac{S_n}{1 - \alpha_n}

这个公式有直观的理解：

• c_n T_n 是正向激励，表示“自身显色”。如果增加不透明度 \alpha_n，高斯自身的颜色就会更多地显示出来。
• - \frac{S_n}{1 - \alpha_n} 是反向抑制，表示“遮挡他人”。如果增加不透明度 \alpha_n，高斯会变厚，从而挡住排在后面的所有高斯 (S_n)，使它们能透出的光变少。

代码实现

数学上的 S_n = \sum_{j>n} 要求计算“排在自己后面元素的累加和”（不含自身）。但是在 PyTorch 中，内置的 torch.cumsum 默认只能从前向后累加。

为了高效计算，我们采用了“翻转-累加-平移补零-再翻转回来”的标准张量操作范式。

主要是 S_n 计算步骤比较多，后续就是变量带入公式，比较容易对照。