在这篇文章中，我们将经典的体渲染（Volume Rendering）数学模型转化为屏幕上的图像。数学公式初看可能有些令人生畏，但别担心，我们会一点点把它拆解。

在进入具体计算之前，我们需要明确当前所处的阶段：假设图像的“分块（Tiling）”已经完成。它将整个屏幕切分成若干个小块（通常是 16×16 像素），以便我们并行处理。

接下来，我们的终极目标是遍历这些 Tile（图像块），处理与每个 Tile 相交的高斯球，并计算出每个像素的最终颜色。

全局深度排序

渲染 3D 场景的第一直觉是什么？遮挡关系。离相机近的物体会遮挡远处的物体，因此我们必须对高斯球按照深度（z 值）进行排序。

从体渲染到高斯分布

当我们进入单个 Tile 的处理循环时，核心任务是计算当前像素的颜色 C。在 3DGS 的原论文中，这个过程是立足于经典的体渲染原理，并借鉴了基于神经点的方法演进而来的。

传统的体渲染中，像素的最终颜色 C 可以被重写为以下离散化公式：

C = \sum_{i=1}^{N} T_i \alpha_i c_i \quad

这里的 \alpha_i 是基于体密度 \sigma_i 和步长 \delta_i 计算的：

\alpha_i = (1 - \exp(-\sigma_i \delta_i))

而 T_i 是累计透射率：

T_i = \prod_{j=1}^{i-1} (1 - \alpha_j)

基于神经点的方法通过混合重叠在该像素上的 \mathcal{N} 个有序点，直接计算像素的颜色 C：

C = \sum_{i \in \mathcal{N}} c_i \alpha_i \prod_{j=1}^{i-1} (1 - \alpha_j) \quad

在 3D Gaussian Splatting 中：

• c_i 是每个高斯球的颜色（通过球谐函数计算得出）。
• \alpha_i 不再是传统体渲染的积分，而是通过计算具有协方差矩阵 \Sigma 的 2D 高斯函数，并乘以学习到的“每点不透明度（per-point opacity）”得到的。

用公式直观理解就是：

\alpha_i = g(x, \Sigma) \times \text{Opacity}

在 2D 高斯的中心点，g(x) 值最大；随着像素点逐渐远离高斯中心，高斯球的贡献会逐渐衰减。这里我们先假设当前 Tile 内所有高斯球的 \alpha_i 已经计算完毕，它的形状为 [N, T*T]（N 是高斯球数量，T×T 是像素数量）。

透射率 T_i 的计算

T_i = \prod_{j=1}^{i-1} (1 - \alpha_j) 表示累计透射率。

它的物理意义非常直观：光线在穿透前面的高斯球后，还有多少能量能继续往下传？如果 T_i = 1，说明前面空无一物；如果 T_i = 0，说明前面有一堵不透明的墙，当前高斯球完全被遮挡。

直接对 (1 - \alpha_i) 运行 torch.cumprod，PyTorch 计算出的结果是从 j=1 乘到当前索引 i。比如输入 [1, 2, 3, 4]，输出是 [1, 2, 6, 24]。

但是我们的数学公式中是连乘到 i-1。这意味着当前高斯球的可见度，应该只由它前面的高斯球决定，不包含它自己。正确的输出应该是 [1, 1, 2, 6]。

为了对齐数学公式，我们需要将 cumprod 的结果整体向后移动一位，并在最前面补上 1。

计算颜色与高阶广播机制

现在我们有了公式中的各个组件：T_i、\alpha_i 和 c_i。当前高斯球对像素的最终权重贡献 w 就可以轻松得出：

w = T_i \times \alpha_i

这个乘法是逐元素相乘，结果的形状依然是 [N, T*T]。最后一步是把权重 w 乘以颜色 c_i。这里我们遇到了维度不匹配的问题：

• w 的形状是 [N, T*T]
• c_i 的形状是 [N, 3]（N 个高斯球，RGB 3个通道）

这时候，PyTorch 的广播机制 (Broadcasting) 就成了我们的利器，我们需要通过添加虚拟维度 (unsqueeze) 让它们对齐。

最后，我们只需要将所有高斯球（沿着 N 的维度）的贡献叠加起来，就得到了每个像素的最终颜色 C。